Olá, engenheiros(as)! No artigo de hoje, vamos explorar o fascinante mundo da composição de funções. Esse conceito pode parecer intimidador à primeira vista, mas prometo torná-lo acessível e interessante para todos.
Compreendendo as Funções Básicas
Antes de mergulharmos na composição de funções, vamos entender as funções básicas envolvidas neste exemplo. Temos três funções:
- Função f(x) = x² – 1: Uma função quadrática clássica.
- Função g(t): Definida por uma tabela de valores, por exemplo, g(3) = 4.
- Função h(x): Apresentada em um gráfico, como h(2) = 1 e h(1) = 2.
O Que é Composição de Funções?
Compor funções significa criar uma nova função a partir da combinação de outras. É como uma sequência onde o resultado de uma função se torna a entrada para a próxima. Vamos explorar isso com exemplos práticos.
Explorando Exemplos Práticos
- Compondo f e g:
- Vamos calcular f(g(2)). Primeiro, encontramos o valor de g(2) na tabela, que é -3.
- Em seguida, aplicamos esse valor na função f, resultando em f(-3) = (-3)² – 1 = 8.
- Portanto, f(g(2)) = 8.
- Compondo f e h:
- Considere f(h(2)). Primeiro, determinamos h(2) no gráfico, que é 1.
- Aplicando isso em f, temos f(1) = 1² – 1 = 0.
- Assim, f(h(2)) = 0.
Composição de Três Funções
Agora, vamos aumentar a complexidade compondo três funções: h, g e f. Para h(g(f(2))), seguimos estes passos:
- Encontre f(2): Aqui, f(2) = 2² – 1 = 3.
- Aplique em g: g(3) da tabela é 4.
- Conclua com h: h(4), conforme o gráfico, é -1.
Logo, h(g(f(2))) = -1.
Conclusão
Espero que este passeio pelo conceito de composição de funções tenha sido esclarecedor. Com exemplos práticos, vimos como compor funções é uma questão de seguir etapas lógicas, transformando valores de uma função em entradas para a próxima.
Aplicação
Vamos mergulhar no mundo da matemática de um jeito super prático e interessante. Vou te apresentar o Caio, um fazendeiro esperto que vai nos ajudar a entender o que são funções compostas. Preparado? Então, bora lá!
Caio e Suas Sementes de Milho
Caio é um fazendeiro que planta milho. Ele usa uma função matemática bem bacana para calcular a quantidade de milho que vai colher. A função é: [C(a) = 7.500a – 1.500], onde [a] é o número de acres plantados. Por exemplo, se ele planta em 2 acres, a função nos diz que ele vai colher [13.500] kg de milho.
Transformando Milho em Dinheiro
Mas Caio não quer só saber quantos quilos de milho vai colher. Ele quer saber quanto vai ganhar vendendo esse milho! Para isso, ele usa outra função: [M(c) = 0,9c – 50], onde [c] é a quantidade de milho em quilogramas. Se ele colher [13.500] kg, essa função diz que ele vai ganhar [R$12.100].
Duas Funções, Um Problema
Aqui, Caio precisa usar duas funções separadas: uma para converter os acres plantados em quilos de milho ([C]) e outra para transformar esses quilos em dinheiro ([M]). Mas e se desse para juntar tudo em uma função só?
Criando a Função Composta
Eureka! Podemos criar uma função que faz tudo de uma vez só: transforma acres plantados diretamente em grana. Vamos chamar essa função de [M(C(a))]. Como? Substituindo [C(a)] na função [M]. Assim:
- Primeiro, calculamos o milho produzido em [a] acres com [C(a)].
- Depois, usamos o resultado como entrada na função [M].
Então, a função composta fica: [M(C(a)) = 6.750a – 1.400].
Exemplo Prático com Dois Acres
Vamos testar com dois acres. A função composta nos diz que Caio vai lucrar [R$12.100] plantando dois acres de milho. Isso bate certinho com os cálculos que fizemos antes, usando as duas funções separadas!
Definindo Funções Compostas
O que fizemos foi criar uma função composta ([M\circ C]), que faz todo o trabalho em um passo só. Agora, Caio só precisa usar [(M\circ C)(a)] para saber quantos reais vai ganhar plantando [a] acres de milho.
Visualização Prática
Para visualizar melhor:
- Usando [C] e [M]: Plantar em 2 acres ➡️ Colher 13.500 kg ➡️ Ganhar R\$12.100.
- Usando [M\circ C]: Plantar em 2 acres ➡️ Direto para ganhar R$12.100.
As duas formas são equivalentes, mas a função composta torna tudo mais simples e direto.
